Tìm giá trị cực đại  $y_{\text{CD}}$ của hàm số  $y=x+2\cos x$ trên khoảng  $\left(0;\pi \right)$.

Đạo hàm  $y\text{'}=1-2\sin x$  và  $y\text{'}\text{'}=-2\cos x$.

Xét trên khoảng  $\left(0;\pi \right)$, ta có  $y\text{'}=0\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}\\ x=\frac{5\pi }{6}\end{array}\right..$

Do đó  $y\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-2.\frac{\sqrt{3}}{2}<0$ và  $y\text{'}\text{'}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=-2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)>0$.

Vậy giá trị cực đại của hàm số là  $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}.$ Chọn C.