Biết rằng trên khoảng  $\left(0;2\pi \right)$ hàm số  $y=a\sin x+b\cos x+x$ đạt cực trị tại  $x=\frac{\pi }{3}$ và  $x=\pi$. Tính tổng  $S=a+b.$

Đạo hàm  $y\text{'}=a\cos x-b\sin x+1$.

Hàm số đạt cực trị tại  $x=\frac{\pi }{3}$ và  $x=\pi$ nên  $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=0\\ y\text{'}\left(\pi \right)=0\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+1=0\\ -a+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }S=a+b=\sqrt{3}+1.$ Chọn C.