Cho hàm số  $y=x^4-m{x}^2+m-2$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

Ta có  $y^{\text{'}}=4x^3-2mx=2x\left(2x^2-m\right);y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 2x^2=m\end{array}\right..$

Để hàm số có ba điểm cực trị  $\iff m>0.$ 

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A\left(0;m-2\right),B\left(\sqrt{\frac{m}{2}},-\frac{m^2}{4}+m-2\right),C\left(-\sqrt{\frac{m}{2}};-\frac{m^2}{4}+m-2\right)$.

Suy ra  $AB=AC=\sqrt{\frac{m}{2}+\frac{m^4}{16}}$,  $BC=2\sqrt{\frac{m}{2}}$.

Ta có  $S=pr=\frac{1}{2}BC.d\left[A,BC\right]\stackrel{}{\to }\frac{AB+BC+AC}{2}.r=\frac{1}{2}BC.d\left[A,BC\right]$

 $\iff \sqrt{\frac{m}{2}+\frac{m^4}{16}}+\sqrt{\frac{m}{2}}=\frac{1}{2}.\frac{m^2}{4}.2\sqrt{\frac{m}{2}}$.

Đặt  $t=\sqrt{\frac{m}{2}}>0$ ta được phương trình  $\sqrt{t^2+t^8}+t=t^5\iff \left[\begin{array}{l}t=0\left(loaïi\right)\\ t=\sqrt{2}\stackrel{}{\to }m=4\end{array}\right..$