Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+1$ có ba điểm cực trị $A\left(0;1\right)$, B, C thỏa mãn BC=4.

Ta có $y\text{'}=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right..$

Để hàm số có ba điểm cực trị $y\text{'}=0$ có ba nghiệm phân biệt $\iff m>0$.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

                       $A\left(0;1\right),B\left(\sqrt{m};1-m^2\right)$ và $C\left(-\sqrt{m};1-m^2\right)$.

Ycbt: $BC=4\iff 2\sqrt{m}=4\iff \sqrt{m}=2\iff m=4$ (thỏa mãn). 

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\iff m>0.$

Ycbt: $BC=m_0\to a{m}_0^2+2b=0\iff {1.4}^2+2.\left(-2m\right)=0\iff m=4.$