Ta có $x^9+3x^3-9x=m+3\sqrt[3]{9x+m}$ <=> ${\left(x^3\right)}^3+3x^3={\left(\sqrt[3]{9x+m}\right)}^3+3\sqrt[3]{9x+m}$
Hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+3>0$, $\forall t\in ℝ$ nên nó đồng biến trên R.
Mặt khác, theo (1) ta có $f\left(x^3\right)=f\left(\sqrt[3]{9x+m}\right)$ $\iff x^3=\sqrt[3]{9x+m}$ hay $m=x^9-9x$ $\left(*\right)$.
Đặt $g\left(x\right)=x^9-9x$, ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=9x^8-9$; $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ $\iff x=\pm 1$.
Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt $\iff$ phương trình $\left(*\right)$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt <=> $m=-8$ hoặc m=8.