Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\left(m+1\right)x^4-m{x}^2+\frac{3}{2}$  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m < –1;

B. –1 < m < 0;

C. m > 1;

D. –1 ≤ m < 0.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trường hợp 1: m = –1.

Khi đó $y=x^2+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ .

Cho y’ = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0.

Vì vậy hàm số không có cực đại, chỉ có cực tiểu x = 0 khi m = –1.

Trường hợp 2: m ≠ –1.

Hàm số đã cho không có cực đại $\iff \left\{\begin{array}{l}m+1>0\\ -m\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-1\\ m\le 0\end{array}\right.\iff -1<m\le 0$ .

Vậy –1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.