Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x^3 − 3.m.x^2 + 4.m^3 có hai điểm cực trị A và B

Đề bài. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x³ − 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Trả lời

Ta có: y’ = 3x² – 6mx = 3x(x – 2m)

Xét y’ = 0 ⇒ $[\begin{array}{c}x=0\\ x=2m\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}y=4m^3\\ y=0\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}A(0;4m^3)\in Oy\\ B(2m; 0) \in Ox\end{array}$

Do ba điểm O, A, B không thẳng hàng nên 2m ≠ 0 hay m ≠ 0

Ta có: $S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}|4m^3|.|2m|=4m^4=4$

Suy ra: m = ±1.