Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: (x – 2019)^2 = y^4 – 6y^3 + 11y^2 – 6y

Câu 26: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:

(x – 2019)² = y⁴ –  6y³ + 11y² – 6y

Trả lời

Biến đổi vế phải ta có:

VP = y⁴ – 6y³ + 11y² – 6y = (y – 1) (y – 2) (y – 3) = (x – 2019)²

⇒ y – 1, y – 3 là 3 số nguyên liên tiếp.

Mà tích của 3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương

⇒ x – 2019 = 0

y – 1 = 0 hoặc y – 2 = 0 hoặc y – 3 = 0

Vậy ta có các cặp x, y là (2019 : 1) hoặc (2019 : 2) hoặc (2019 : 3).