Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca
Câu 20: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca.
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử a £ b £ c.
Khi đó: ab + bc + ca £ 3bc
⇔ abc £ 3bc
⇔ a £ 2 ⇒ a = 2 (vì a là số nguyên tố)
Với a = 2, ta có: 2bc < 2b + 2c + bc
⇔ bc < 2(b + c) £ 4c
=> b < 4 => b =2 ; b = 3
Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c thoả mãn với c là số nguyên tố bất kì
Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c= 5
Vậy các cặp số (a, b, c) cần tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3) ; (2, 5, 5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên tố