Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết p = n^3 − n^2 + n – 1

Câu 36: Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết p = n³ − n² + n – 1.

Trả lời

Ta có: p = n3 − n2 + n − 1 = n2(n − 1) + (n − 1) = (n − 1)(n2 + 1)

Để tích của hai số tự nhiên là một số nguyên tố thì một trong hai thừa số phải bằng 1.

• TH1: n − 1 = 1 ⇔ n = 2

⇒ p = (2 − 1)(22 + 1) = 5 là số nguyên tố

Vậy n = 2 thỏa mãn.

• TH2: n2 + 1 = 1 ⇔ n = 0

⇒ p = (0 − 1)(0 + 1) = −1 không là số nguyên tố

Vậy n = 0 không thỏa mãn.

Vậy số tự nhiên n cần tìm là n = 2

Khi đó, p = 5 là số nguyên tố.