Tìm số tự nhiên n để: n^2021 + n^2020 + 1 là số nguyên tố

Câu 3: Tìm số tự nhiên n để: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là số nguyên tố.

Trả lời

Ta có:

n2021 + n2020 + 1

= n2021 ‒ n2 + n2020 ‒ n + n2 + n +1

= n2(n2019 ‒ 1) + n(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)

= (n2 + n)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)

= n(n + 1)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)                                 (1)

Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673

Nên nếu đặt A = n3 thì n2019 = A673

Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:

ak ‒ bk = (a ‒ b)(ak‒1 + ak‒2b1 + ak‒3b2 +...+ a1bk‒2 + bk‒1)

Ta có: n2019 ‒ 1 = A673 ‒ 1 = A673 ‒ 1673 = (A ‒ 1)(A672 + A671 + ... + A1 + 1)

⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n2019 ‒ 1 ⋮ (n3 ‒ 1)

Mà n3 ‒ 1 = (n ‒ 1)(n2 + n +1) ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (n2 + n +1)         (2)                 

Từ (1) và (2) ⇒ n2021 + n2020 + 1 ⋮ (n2 + n +1)        

Như vậy để n2021 + n2020 + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:

1. n2 + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)

2. n2021 + n2020 + 1 = n2 + n +1 hay n2020(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n2019 ‒ 1) = 0

Do n > 0 nên n2019 ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1

Thử lại ta có: n2021 + n2020 + 1 = 12021 + 12020 + 1 = 3 là số nguyên tố.

Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.