Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = 4 và a + b = 48

Câu 18: Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = 4 và a + b = 48.

Trả lời

Ta thấy a, b ∈ ℕ.

Ta có ƯCLN(a, b) = 4.

Suy ra a = 4m và b = 4n, với m, n ∈ ℕ* và (m, n) = 1.

Ta lại có a + b = 48.

Suy ra 4m + 4n = 48.

Do đó 4(m + n) = 48.

Vì vậy m + n = 48 : 4 = 12.

Suy ra m + n = 11 + 1 = 10 + 2 = 9 + 3 = 8 + 4 = 7 + 5 = 6 + 6.

Giả sử a ≥ b. Suy ra m ≥ n.

Mà (m, n) = 1.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}m=11\\ n=1\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}m=7\\ n=5\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}m=6\\ n=6\end{array}\right.$ .

Với $\left\{\begin{array}{l}m=11\\ n=1\end{array}\right.$ , ta có:  $\left\{\begin{array}{l}a=4m=4.11=44\\ b=4n=4.1=4\end{array}\right.$ (nhận)

Với $\left\{\begin{array}{l}m=7\\ n=5\end{array}\right.$ , ta có:   $\left\{\begin{array}{l}a=4m=4.7=28\\ b=4n=4.5=20\end{array}\right.$ (nhận)

Với $\left\{\begin{array}{l}m=6\\ n=6\end{array}\right.$ , ta có:  $\left\{\begin{array}{l}a=4m=4.6=24\\ b=4n=4.6=24\end{array}\right.$  (nhận)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 44 và 4; 28 và 20; 24 và 24.