Tìm số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a, b) = 4 và a + b = 48.

Trả lời

Lời giải

Ta thấy a, b ∈ ℕ.

Ta có ƯCLN(a, b) = 4.

Suy ra a = 4m và b = 4n, với m, n ∈ ℕ* và (m, n) = 1.

Ta lại có a + b = 48.

Suy ra 4m + 4n = 48.

Do đó 4(m + n) = 48.

Vì vậy m + n = 48 : 4 = 12.

Suy ra m + n = 11 + 1 = 10 + 2 = 9 + 3 = 8 + 4 = 7 + 5 = 6 + 6.

Giả sử a ≥ b. Suy ra m ≥ n.

Mà (m, n) = 1.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m = 11\\n = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m = 7\\n = 5\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 6\end{array} \right.\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 11\\n = 1\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.11 = 44\\b = 4n = 4.1 = 4\end{array} \right.\) (nhận)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 7\\n = 5\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.7 = 28\\b = 4n = 4.5 = 20\end{array} \right.\)   (nhận)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 6\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.6 = 24\\b = 4n = 4.6 = 24\end{array} \right.\)   (nhận)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 44 và 4; 28 và 20; 24 và 24.