Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 – 2y2 = 1

Đề bài: Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn x² – 2y² = 1.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: x² – 2y² = 1 ⇔ x² = 2y² + 1; $y^2=\frac{x^2-1}{2}$ .

Suy ra x² là một số chính phương lẻ, x là số lẻ.

Đặt x = 2k + 1 (k nguyên dương).

Ta có  $y^2=\frac{{\left(2k+1\right)}^2-1}{2}=\frac{4k^2+4k}{2}=2k(k+1)$  (*)

Y là một số nguyên tố nên y² sẽ là một số nguyên dương mà có duy nhất 3 ước là {1; y; y²}.

Từ (*) dễ thấy $y^2⋮2$  và do y là số nguyên tố nên suy ra y = 2 $\Rightarrow$ k = 1 $\Rightarrow$  x = 3.

Vậy x = 3 và y = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.