Tìm số nguyên tố p để p + 2 và p + 10 cũng là số nguyên tố

Đề bài: Tìm số nguyên tố p để p + 2 và p + 10 cũng là số nguyên tố.

Trả lời

Hướng dẫn giải:
TH1: p = 2.

Khi đó p + 2 = 4 là hợp số (loại).

TH2: p = 3

Khi đó p + 2 = 5; p + 3 = 13 đều là những số nguyên tố. ( thỏa mãn).

TH3: p > 3.

Khi đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ ℕ*)

• p = 3k + 1 $\Rightarrow$ p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 3) luôn có một ước là 3.

Do đó p = 3k + 1 là hợp số (loại).

• p = 3k + 2 $\Rightarrow$ p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) luôn có một ước là 3.

Do đó p = 3k + 2 là hợp số (loại).

Vậy ta có một số nguyên tố p = 3 thỏa mãn duy nhất.