Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

a) \({\left( {x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{10}}\);

b) \({\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{12}}\).

Lời giải

a) Ta có \[{\left( {x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^{10 - k}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^{10 - k - 4k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^{10 - 5k}}} \]

Số hạng không chứa x là số hạng có lũy thừa của x bằng 0 nên ta có:

10 – 5k = 0 Û k = 2.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là \(C_{10}^2 = 45\).

b) Ta có \[{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{2.\left( {12 - k} \right)}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{24 - 2k - 4k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{24 - 6k}}} \]

Số hạng không chứa x là số hạng có lũy thừa của x bằng 0 nên ta có:

24 – 6k = 0 Û k = 4

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là \(C_{12}^4 = 495\).