Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \[\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\] trên đường tròn lượng giác.

Đáp án D

Phương pháp

Đặt \[t = \sin x - \cos x\] tính \[\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\] thay vào phương trình.

Giải phương trình và kết luận.

Cách giải

Đặt \[t = \sin x - \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\] thì \[{t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\].

Thay vào phương trình ta được \[\begin{array}{l}\left| t \right| + 8.\frac{{1 - {t^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2 \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| = - \frac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \pm 1\left( {TM} \right)\end{array}\]

TH1: \[t = 1\] thì \[\begin{array}{l}\sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]

TH2: \[\begin{array}{l}\sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]

Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương tình trên đường tròn lượng giác.