b) (VDC) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: \[{\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\].

Phương pháp

b) Đặt \[u = \sqrt {\cos x + m} \] đưa về hệ phương trình.

Tìm m để hệ có nghiệm và kết luận.

Cách giải

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: \[{\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\].

Đặt \[u = \sqrt {\cos x + m} \], ta có hệ \[\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + u = m\\{u^2} - \cos x = m\end{array} \right.\]. Trừ vế theo vế ta được:

\[{\cos ^2}x - {u^2} + u + \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {u + \cos x} \right)\left( {\cos x - u + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - \cos x\\u = \cos x + 1\end{array} \right.\].

\[*)\;u = \cos x + 1\], ta được \[\sqrt {m + \cos x} = \cos x + 1\;\;\;\left( 1 \right)\].

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + \cos x = {\left( {\cos x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m = {\cos ^2}x + \cos x + 1\].

Đặt \[t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\] ta được \[m = {t^2} + t + 1 = f\left( t \right)\].

Bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le m \le 3\].

\[*)\;u = - \cos x\], ta được \[\sqrt {m + \cos x} = - \cos x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \cos x \ge 0\\m + \cos x = {\cos ^2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\m = {\cos ^2}x - \cos x\end{array} \right.\].

Đặt \[t = \cos x\left( { - 1 \le t \le 0} \right)\] ta được: \[m = {t^2} - t\]

Xét hàm số \[g\left( t \right) = {t^2} - t\] trong đoạn \[\left[ { - 1;0} \right]\] ta có bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm \[ \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\].

Kết hợp với TH1 ta được \[0 \le m \le 3\].

Vậy \[m \in \left[ {0;3} \right]\].