Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y^2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8

Câu 41: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y² = x(x + 1)(x + 7)(x + 8).

Trả lời

y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8) ⟺ y2 = (x2 + 8x)( x2 + 8x + 7)

Đặt t = x2 + 8x, ta có: y2 = t(t + 7) = t2 + 7t

⟺ 4y2 = 4t2 + 28t + 49 – 49

⟺ (2t + 7)2 – 4y2 = 49

⟺ (2t + 7 – 2y)(2t + 7 + 2y) = 49 = 7.7

$\iff [\begin{array}{c}2t+7-2y=7\\ 2t+7+2y=7\end{array}\iff [\begin{array}{c}2x^2+16x+7-2y=7\\ 2x^2+16x+7+2y=7\end{array}\iff [\begin{array}{c}2x^2+16x-2y=0\\ 2x^2+16x+2y=0\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: (–8; 0), (0; 0).