Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10

Đề bài: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10.

Trả lời

Lời giải:

x² + 5y² + 6z² + 2xy – 4xz = 10

⇔ x² + y² + 4z² + 2xy – 4xz – 4yz + 4y² + 4yz + z² + z² = 10

⇔ (x + y – 2z)² + (2y + z)² + z² = 10   (1)

Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)², (2y + z)², z² là các số chính phương.

Ta có 10 = 0 + 1 + 9.

Trường hợp 1: z² = 0 ⇔ z = 0.

Khi đó ta có (2y)² = 1 hoặc (2y²) = 9.

Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 2: (2y + z)² = 0 ⇔ z = –2y.

Suy ra z² = (–2y)² = 1 hoặc z² = (–2y)² = 9.

Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.

Trường hợp 3: (x + y – 2z)² = 0.

Khi đó phương trình (1) tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=1\\ z^2=9\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}{\left(x+y-2z\right)}^2=0\\ {\left(2y+z\right)}^2=9\\ z^2=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y+z=1\\ z=\pm 3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=0\\ 2y+z=9\\ z=\pm 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=7\\ y=-1\\ z=3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-8\\ y=2\\ z=-3\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\\ z=1\end{array}\right.$  hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=5\\ z=-1\end{array}\right.$

Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3), (–8; 2; –3), (–2; 4; 1), (–7; 5; –1)}.