Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx + cosx = 1 - 1/2 sin2x

Đề bài: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx+cosx=1−12sin2x .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Phương trình sinx+cosx=1−12sin2x  có nghĩa x ∈ ℝ ⟺ D = ℝ.

Ta có: sinx+cosx=1−12sin2x ⟺ sinx + cosx +sinxcosx – 1 = 0 (1)

Đặt t = sinx +cosx, $\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right)$ . Ta có sinxcosx = $\frac{t^2-1}{2}$

⇒ (1) ⟺ $t+\frac{t^2-1}{2}-1=0\iff t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=-3\end{array}\right.$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên t = 1

Với t = 1, ta có t = sinx + cosx = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{3\pi }{2}$