Tìm n để (n^2 – 8)^2 + 36 là số nguyên tố

Câu 19: Tìm n để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.

Trả lời

Ta có: (n² – 8)² + 36

= n⁴ – 16n² + 64 + 36

= n⁴ – 16n² + 100

= n⁴ + 20n² + 100 – 36n²

= (n² + 10)² – (6n)²

= (n² + 6n + 10)(n² – 6n + 10)

Để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố thì n² + 6n + 10 = 1 hoặc n² – 6n + 10 = 1

TH1: n² + 6n + 10 = 1

⇔ n² + 6n + 9 = 0

⇔ (n + 3)² = 0

⇔ n + 3 = 0

⇔ n = –3 (loại)

TH2: n² – 6n + 10 = 1

⇔ n² – 6n + 9 = 0

⇔ (n – 3)² = 0

⇔ n – 3 = 0

⇔ n = 3 (thỏa mãn)

Vậy n = 3 thì (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.