Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Đề bài: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}(m+1)x-2y=m-1\\ m^{2}x-y=m^2+2m\end{array}\right.$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a)

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 2x+m.\frac{m+1-mx}{2}=2m-1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ 4x+m^2+m-m^{2}x=4m-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ x(m^2-4)=m^2-3m+2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{m+1-mx}{2}\\ x(m-1)(m+2)=(m-2)(m-1)(*)\end{array}\right.\end{array}$

Nếu m = 2 thì (*) ⇔ 0.x = 0, phương trình này có vô số nghiệm

Nếu m = –2 thì (*) ⇔ 0.x = 12, phương trình này vô nghiệm

Nếu  m ≠ 2 và m ≠ –2 thì (*) ⇔ $x=\frac{m-1}{m+2}$. Thay trở lại để tìm ra $y=\frac{m+1-mx}{2}=\frac{2m+1}{m+2}$

Nhu vậy trong trường họp này hệ có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{m+2}=1-\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{2m+1}{m+2}=2-\frac{3}{m+2}\end{array}\right.$

Và ta cần tìm m ∈ ℤ sao cho x, y ∈ ℤ 

Ta có: Để x ∈ ℤ  thì $\frac{3}{m+2}$ ∈ ℤ  ⇔ m + 2 ∈ {1; –1; 3; –3} ⇔ m ∈ {–1; –3; 1; –5}

Các giá trị này đều thỏa mãn m ≠ 2 và m ≠ –2

Vậy m ∈ {–1; –3; 1; –5}