Tìm m để y = x^3 – 3x^2 + m^2 – m + 1 có 2 điểm cực trị A, B và SABC = 7

Đề bài: Tìm m để y = x³ – 3x² + m² – m + 1 có 2 điểm cực trị A, B và S_ABC = 7, với C(−2; 4).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

y = x³ – 3x² + m² – m + 1

$\Rightarrow$ y’ = 3x² – 6x = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Suy ra 2 điểm cực trị là A(0; m² – m + 1) và B(2; m² – m – 3).

Khi đó ta có phương trình đường thẳng AB:

$\frac{x-0}{2-0}=\frac{y-m^2+m-1}{m^2-m-3-m^2+m-1}$

$\iff \frac{x}{2}=\frac{y-m^2+m-1}{-4}$

$\iff$−2x = y – m² + m – 1

$\iff$2x + y – m² + m – 1 = 0

$AB=\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(m^2-m+1-m^2+m+3\right)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$

$d(C;AB)=\frac{\left|-4+4-m^2+m-1\right|}{2\sqrt{5}}$

$\Rightarrow$|−m² + m – 1| = 7

$\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-2\end{array}\right.$

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m = −2; m = 3.