Tìm m để y = 2x^3 − mx^2 + 2x đồng biến trên (−2; 0

Đề bài: Tìm m để y = 2x³ − mx² + 2x đồng biến trên (−2; 0).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)=6x^2-2mx+2$ (1)

Đề hàm số đồng biến trên (− 2; 0) $\iff f\left(x\right)\ge 0;\forall x\in (-2;0)$

$$\begin{gathered} \iff 6x^2+2\ge 2mx \\ \iff \frac{3x^2+1}{x}\le m \end{gathered}$$

$\iff m\ge \max \left(\frac{3x^2+1}{x}\right)$ với $x\in (-2;0)$

Xét $g\left(x\right)=\frac{3x^2+1}{x}\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\frac{3x^2-1}{x^2}=0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$ .