Tìm m để phương trình x^2 + mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2

Đề bài: Tìm m để phương trình x² + mx + m − 2 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ − x₂| = 2.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

 x² + mx + m − 2 = 0

Þ ∆' = m² − m + 2 $={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ , ∀m Î ℝ.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng định lí Ta-lét, ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1.x_2=m-2\end{array}\right.$

Khi đó: |x₁ − x₂| = 2

Û |x₁ − x₂|² = 4

Û x₁² + x₂² − 2x₁.x₂ = 4

Û (x₁ + x₂)² − 2x₁.x₂ − 2x₁.x₂ = 4

Û (x₁ + x₂)² − 4x₁.x₂ = 4

Û (−m)² − 4.(m − 2) = 4

Û m² − 4m + 8 − 4 = 0

Û m² − 4m + 4 = 0

Û (m − 2)² = 0 Û m = 2.

Vậy m = 2 là giá trị của tham số m cần tìm.