Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng

Đề bài: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $m\ne 0$

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng (1) với các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $\text{A}\left({\text{x}}_{\text{1}}\text{;\hspace{0.33em}0}\right)\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}B}\left({\text{0;\hspace{0.33em}y}}_{\text{2}}\right)\text{.}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{\text{0 = mx}}_{\text{1}}\text{ + 1}\\ {\text{m . 0 + 1 = y}}_{\text{2}}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{\text{x}}_{\text{1}}\text{ = -}\frac{\text{1}}{\text{m}}\\ {\text{y}}_{\text{2}}\text{ = 1}\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\text{A(-}\frac{\text{1}}{\text{m}}\text{; 0)}\\ \text{B(0; 1)}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\text{OA = }\left|\text{-}\frac{\text{1}}{\text{m}}\right|\text{ = }\frac{\text{1}}{\left|\text{m}\right|}\\ \text{OB = |1| = 1}\end{array}\right.$

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng (1)  $\Rightarrow \text{OH = }\frac{\text{2}}{\sqrt{\text{5}}}\text{.}$

Khi đó ta có  vuông tại O và có đường cao OH.

Áp dụng hệ thức lượng cho  vuông tại O và có đường cao OH ta có:

$\begin{array}{l}\frac{\text{1}}{{\text{OH}}^{\text{2}}}\text{ = }\frac{\text{1}}{{\text{OA}}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{1}}{{\text{OB}}^{\text{2}}}\iff \frac{\text{1}}{{\left(\frac{\text{2}}{\sqrt{\text{5}}}\right)}^{\text{2}}}\text{ = }\frac{\text{1}}{{\left|{\text{x}}_{\text{1}}\right|}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{1}}{{\left|{\text{y}}_{\text{2}}\right|}^{\text{2}}}\\ \iff \frac{\text{5}}{\text{4}}\text{ = }\frac{\text{1}}{{\left(\text{-}\frac{\text{1}}{\text{m}}\right)}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{1}}{{\text{1}}^{\text{2}}}\iff \frac{\text{5}}{\text{4}}{\text{ = m}}^{\text{2}}\text{ + 1}\\ \iff {\text{5 = 4m}}^{\text{2}}\text{ + 4}\iff {\text{4m}}^{\text{2}}\text{ = 1}\iff {\text{m}}^{\text{2}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{4}}\iff \text{m = ±}\frac{\text{1}}{\text{2}}\left(\text{tm}\right)\end{array}$

Vậy $\text{m = ±}\frac{\text{1}}{\text{2}}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.