Tìm m để hàm số y = x^3 - 3mx^2 + m(2m - 1)x + 1 đồng biến trên R

Đề bài: Tìm m để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3(2m-1)x+1$  đồng biến trên R.

Trả lời

Hướng dẫn giải: 

Ta có

$y=x^3-3m{x}^2+3(2m-1)x+1\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6mx+3(2m-1);\forall x\in \text{R}.$

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi

$y^{\text{'}}\ge 0;\forall x\in \text{R}\iff x^2-2mx+2m-1\ge 0;\forall x\in \text{R}.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-2m+1\le 0\end{array}\right.\iff {(m-1)}^2\le 0\iff m=1.$

Vậy m  = 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.