Tìm m để đa thức x^3 + y^3 + z^3 + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z

Câu 23: Tìm m để đa thức x³ + y³ + z³ + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z.

Trả lời

Ta có:

x3 + y3 + z3 + mxyz

= (x + y + z)3 − 3(x + y)(y + z)(x + z) + mxyz

= (x + y + z)3 − 3[xy(x + y) + yz( y+ z) + xz(x + z) + 2xyz] + mxyz

= (x + y + z)3 − 3[xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z) − xyz] + mxyz

= (x + y + z)3 − 3(x + y + z)(xy + yz + xz) + 3xyz + mxyz

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz) + (m + 3).xyz

Như vậy, để x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z ∀x, y, z thì (m + 3)xyz ⋮ (x + y + z), ∀x, y, z

⇒ m + 3 = 0 ⇒ m = −3.