Tìm GTNN của biểu thức C = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Đề bài: Tìm GTNN của biểu thức C = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
Hướng dẫn giải:
C = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
= (x2 – 4xy + 4y2) + (10x – 20y) + (y2 – 2y + 1) + 27
= (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 27
= (x – 2y)2 + 2. (x – 2y). 5 + 52 + (y – 1)2 + 2
= (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + 2
Vì (x – 2y + 5)2 ≥ 0 với mọi x; y ∈ ℝ.
Và (y – 1)2 ≥ 0 với mọi y ∈ ℝ.
Nên (x – 2y + 5)2 + (y – 1)2 + 2 ≥ 2 với mọi x; y ∈ ℝ.
Hay C ≥ 2 với mọi x; y ∈ ℝ.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy Cmin = 2 khi x = −3 và y = 1.