Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4sin2x – 4sinx + 3.

Trả lời

Tập xác định: D = ℝ.

y = 4sin²x – 4sinx + 3

= 4sin²x – 4sinx + 1 + 2

= (2sinx – 1)² + 2.

Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1

$\iff$ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

$\iff$–2 ≤ 2sinx ≤ 2

$\iff$ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1

$\iff$ 0 ≤ (2sinx – 1)² ≤ 1

$\iff$ 2 ≤ (2sinx – 1)² + 2 ≤ 3

$\iff$ 2 ≤ y ≤ 3

Khi đó giá trị nhỏ nhất của y là 2, xảy ra khi và chỉ khi (2sinx – 1)² = 0

$\iff \sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$

Khi đó giá trị lớn nhất của y là 3, xảy ra khi và chỉ khi sinx = 1 $\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$.