Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x/ căn bậc hai của x  - 1 với x > 1.

Trả lời

Lời giải

Ta có: \(C = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2\)

Với x > 1 ta có \(\sqrt x - 1 > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(\sqrt x - 1\) và \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) ta được:

\[\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2\]

\( \Rightarrow \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 4\)

Þ C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 4 khi x = 4.