Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x + 16) / (căn x + 3)

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

ĐK: x ≥ 0

Ta có $A=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-3^2+25}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+25}{\sqrt{x}+3}$

$=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6$.

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có:

$A=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6\ge 2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{25}{\sqrt{x}+3}}-6$

Do đó A ≥ 2.5 − 6 = 4.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\iff \left(\sqrt{x}+3\right)=25$ .

Vì $\sqrt{x}+3>0$  nên $\sqrt{x}+3=5\iff \sqrt{x}=2\iff x=4$ .