Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x;

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x.

Lời giải

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x

= cos⁴x – cos²x + 1 – cos²x

= cos⁴x – 2cos²x + 1

= (cos²x – 1)²

= (–sin²x)²

= sin⁴x.

Ta có –1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ sin⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ A ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\\\sin x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy maxA = 1 khi và chỉ khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) và minA = 0 khi và chỉ khi x = kπ (k ∈ ℤ).

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x

= sin⁴x – sin²x + 1 – sin²x

= sin⁴x – 2sin²x + 1

= (sin²x – 1)²

= (–cos²x)²

= cos⁴x.

Ta có –1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ cos⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ B ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\\\cos x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy maxB = 1 khi và chỉ khi x = kπ và minB = 0 khi và chỉ khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ ℤ).