Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: a) A = cos^4 x – cos^2 x + sin^2 x

Câu 35: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x;

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x.

Trả lời

a) A = cos⁴x – cos²x + sin²x

= cos⁴x – cos²x + 1 – cos²x

= cos⁴x – 2cos²x + 1

= (cos²x – 1)²

= (–sin²x)²

= sin⁴x.

Ta có –1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ sin⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ A ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=1\\ \sin x=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy maxA = 1 khi và chỉ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$  và minA = 0 khi và chỉ khi x = kπ (k ∈ ℤ).

b) B = sin⁴x – sin²x + cos²x

= sin⁴x – sin²x + 1 – sin²x

= sin⁴x – 2sin²x + 1

= (sin²x – 1)²

= (–cos²x)²

= cos⁴x.

Ta có –1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ cos⁴x ≤ 1, ∀x.

⇔ 0 ≤ B ≤ 1, ∀x.

Dấu “=” xảy ra

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy maxB = 1 khi và chỉ khi x = kπ và minB = 0 khi và chỉ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$  (k ∈ ℤ).