Tìm giá trị của tham số m để: a) x = 3 là một nghiệm của bất phương trình (m^2 - 1).x^2 + 2m.x - 15

Bài 6 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm giá trị của tham số m để:

a) x = 3 là một nghiệm của bất phương trình ;$\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$

b) x = -1 là một nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$;

c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$;

d) x = -2 là một nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$

e) x = m + 1 là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$.

Trả lời

a) x = 3 là một nghiệm của bất phương trình$\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$ khi và chỉ khi (m2 – 1 ).32 + 2m.3 – 15 ≤ 0 hay 9m2 + 6m – 24 ≤ 0

Tam thức bậc hai f (m) = 9m² + 6m – 24 có ∆ = 6² – 4.9.( –24) = 900 suy ra hai nghiệm phân biệt m₁ = $\frac{4}{3}$ và m2 = –2 và a = 9 > 0 nên f ( m ) ≤ 0 khi và chỉ khi – 2 ≤ m ≤ .$\frac{4}{3}$

Vậy – 2 ≤ m ≤ $\frac{4}{3}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) x = -1 là một nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$ khi và chỉ khi

m.(–1 )² – 2.(–1 ) + 1 > 0 hay m + 3 > 0 hay m > –3.

Vậy m > –3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c)  $x=\frac{5}{2}$là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$ khi và chỉ khi

4.${\left(\frac{5}{2}\right)}^2$+ 2.m.$\frac{5}{2}$– 5m ≤ 0 hay 25 ≤ 0 ( vô lí ).

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

d) x = -2 là một nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$ khi và chỉ khi ( 2m – 3 ). ( –2)2 – (m2 + 1 ).( –2) ≥ 0 hay 2m2 + 8m – 10 ≥ 0

Tam thức bậc hai f (m) = 2m² + 8m – 10 có ∆ = 8² – 4.2.( –10) = 144 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt m₁ = –5 và m₂ = 1 và a = 2 > 0 nên f ( m )  ≥  0 khi và chỉ khi

m ≤ –5 hoặc m ≥ 1.

Vậy m ≤ –5 hoặc m ≥ 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

e) x = m + 1 là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$ khi và chỉ khi 2.(m+1)² + 2m.(m+1) – m² – 2 < 0 hay 3m² + 6m < 0

Tam thức bậc hai f (m) = 3m² + 6m có ∆ = 6² – 4.3.0 = 36 suy ra hai nghiệm phân biệt m₁ = –2 và m₂ = 0 và a = 2 > 0 nên f ( m )  <  0 khi và chỉ khi –2 < m < 0.

Vậy –2 < m < 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân