Tìm các số không âm x,y sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

Đề bài: Tìm các số không âm x,y sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

$\text{A}=x+y-\sqrt{x-3}.\sqrt{y-2021}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 3, y ≥ 2021

Ta có:

Vì ${\left(\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}\right)}^2\ge 0$ , $\frac{3}{4}(y-2021)\ge 0$

Nên ${(\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021})}^2+\frac{3}{4}(y-2021)+2024\ge 2024$

Hay A ≥ 2024

Dấu “ =” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}y-2021=0\\ \sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}=0\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}y=2021\\ \sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{y-2021}=0\end{array}\right.$

Nên $\left\{\begin{array}{l}y=2021\\ x=3\end{array}\right.$  (thỏa mãn)

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2024 khi x = 3, y = 2021.