Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 1)x^2 – 2mx + m = 0 có một nghiệm lớn hơn

Câu 15: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 1)x² – 2mx + m = 0 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Trả lời

Với m − 1 ≠ 0 ta xét phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m = 0  (1)

Ta có: Δ' = m2 − m(m − 1) = m

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: Δ′ > 0 ⇔ m > 0

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của (1) và x1 > 1, x2 < 1

Ta có: (x1 − 1)(x2 − 1) < 0

⇔ x1x2 − (x1 + x2) + 1 < 0 (∗)

Theo Vi-et ta có: 

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{m}{m-1}\end{array}$

Thay vào (∗) ta có:

$\frac{m}{m-1}-\frac{2m}{m-1}+1<0$

$\iff \frac{-1}{m-1}<0\iff m>1$

Vậy với m > 1thỏa mãn điều kiện bài toán.