Theo 2 giả thiết đề bài cho ta có:
\[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]
⇔ 100 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^2}\]≤ 999
⇔ 10 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31 (1)
\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]
⇔ 10000 ≤ \[{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]≤ 99999
⇔ 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 46 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 22 ≤ \[\overline {{a_7}{a_8}} \]≤ 31
Lại có:
\[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]
⇔ \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, + \left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)\, = \,{\left( {\overline {{a_7}{a_8}} } \right)^3}\]
⇔ \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \, = \left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]
Ta thấy: \[\overline {{a_4}{a_5}{a_6}00} \,\] chia hết cho 100 nên \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\] chia hết cho 100. Mà \[\left( {\overline {{a_7}{a_8}} - 1} \right)\,\,\overline {{a_7}{a_8}} \left( {\overline {{a_7}{a_8}} + 1} \right)\]là 3 số tự nhiên liên tiếp nên để chia hết cho 100 thì khi và chỉ khi có 1 số chia hết cho 25.
Suy ra: \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 hoặc \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26
Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 24 ta có số: 57613824.
Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 25 ta có số: 62515625.
Với \[\overline {{a_7}{a_8}} \] = 26, không thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 57613824; 62515625.