Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\frac{500}{3}{\text{ m}}^3$. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là $500.000$ đồng${\text{/m}}^2$ . Khi đó, kích thước của hồ nước như thế nào để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm phải trả thấp nhất:

A. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao $\frac{20}{3}\text{ m}$. 

D. Chiều dài 20m, chiều rộng 15m và chiều cao $\frac{10}{27}\text{ m}$.

Chọn C

Giả sử thầy Tâm xây cái hồ dạng khối hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ trên. Do khối hộp chữ nhật có thể tích là $\frac{500}{3}{\text{ m}}^3$ nên ta có $V=2x^{2}h=\frac{500}{3}\left({\text{m}}^3\right)$=>$h=\frac{250}{3x^2}$.
Vì giá thuê nhân công để xây hồ là $500.000$ đồng ${\text{/m}}^2$. Do xây bốn xung quanh và đáy nên
giá nhân công để xây xong cái hồ là: $T=\left(2xh+2.2xh+2x^2\right)500000=500000\left(6x.\frac{250}{3x^2}+2x^2\right)\Rightarrow$
$T=500000\left(\frac{500}{x}+2x^2\right)$. Ta khảo sát hàm $T=500000\left(\frac{500}{x}+2x^2\right)$ với $x>0$ :
$T^{\text{'}}=500000\left(-\frac{500}{x^2}+4x\right)=0\iff x=5\Rightarrow$ Chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao $\frac{10}{3}\text{ m}$.