Tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

$\cos 2A+2\sqrt{2}\cos B+2\sqrt{2}\cos C=3$.

Tính ba góc của tam giác ABC.

Ta có: $\cos 2A+2\sqrt{2}\cos B+2\sqrt{2}\cos C=3$

$\iff 2{\cos }^{2}A-1+2\sqrt{2}\mathrm{.2.}\cos \left(\frac{B+C}{2}\right).\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)-3=0$

$\iff 2{\cos }^{2}A+4\sqrt{2}.\cos \left(\frac{B+C}{2}\right).\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)-4=0$(1)

Ta thấy:$\sin \left(\frac{A}{2}\right)>0;\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)\le 1$

$\Rightarrow VT\le 2{\cos }^{2}A+4\sqrt{2}.\sin \left(\frac{A}{2}\right)-4$

Vì ∆ABC không tù nên 0 £ cos A < 1

$\Rightarrow {\cos }^{2}A\le \cos A$

$\Rightarrow VT\le 2\cos A+4\sqrt{2}.\sin \left(\frac{A}{2}\right)-4$

$\Rightarrow VT\le 2\left(1-2.{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)\right)+4\sqrt{2}.\sin \left(\frac{A}{2}\right)-4$

$\Rightarrow VT\le -4.{\sin }^2\left(\frac{A}{2}\right)+4\sqrt{2}.\sin \left(\frac{A}{2}\right)-2$

$\Rightarrow VT\le -2.{\left(\sqrt{2}.\sin \left(\frac{A}{2}\right)-1\right)}^2\le 0$ (2)

Từ (1) và (2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu “=” ở trên xảy ra

$\iff \left\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)=1\\ {\cos }^{2}A=\cos A\\ \sqrt{2}.\sin \frac{A}{2}-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=0\\ {\cos }^{2}A=\cos A\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=0\\ {\cos }^{2}A=\cos A\\ \frac{\widehat{A}}{2}=45°\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\widehat{B}=\widehat{C}\\ {\cos }^{2}A=\cos A\left(TM\right)\\ \widehat{A}=90°\end{array}\right.$

Vậy với $\widehat{A}=90°$  thì $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180°-90°}{2}=45°$ .