Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó

Đề bài: Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABMN có hai đường chéo vuông góc.

$S_{ABMN}=\frac{1}{2}AM.BN$

$\Delta ABM$ và $\Delta AMC$ có chung chiều cao kẻ từ A cạnh đáy BM = MC

$\to S_{ABM}=S_{AMC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$

$\Delta MAN$ và $\Delta MNC$ có chung chiều cao kẻ từ M, cạnh đáy AN = NC

$\begin{array}{l}\to S_{MAN}=S_{MNC}=\frac{1}{2}{S}_{AMC}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}\\ S_{ABMN}=S_{ABM}+S_{MNA}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}+\frac{1}{4}{S}_{ABC}=\frac{3}{4}{S}_{ABC}\\ \to S_{ABC}=\frac{4}{3}{S}_{ABMN}=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}.AM.BN=\frac{2}{3}AM.BN\end{array}$