∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm hệ thức thể hiện quan hệ 3 cạnh của tam giác.

Ta có công thức đường trung tuyến \({m_a} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\)

Chứng minh bổ đề này bằng cách kẻ đường cao hoặc vecto

Ta có: \(BG \bot CG \Rightarrow B{C^2} = B{G^2} + C{G^2} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{4}{9}\left( {m_b^2 + m_c^2} \right)\)

\({a^2} = \frac{4}{9}\left( {{a^2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} \right) \Leftrightarrow 5{a^2} = {b^2} + {c^2}\).