Số nghiệm của phương trình sin(x+pi/4)=(căn 2)/2 trên đoạn [0; π] là:

Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn [0; π] là:

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác:

Ta có:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có:

0 ≤ k2π ≤ π

$\iff$ 0 ≤ 2k ≤ 1

$\iff$ 0 ≤ k ≤ $\frac{1}{2}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có:

0 ≤ $\frac{\pi }{2}$+k2$\pi$ ≤ $\pi$

$\iff$ 0 ≤ $\frac{1}{2}$+2k ≤ 1

$\iff -\frac{1}{2}\le 2k\le \frac{1}{2}\iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{1}{4}$

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x $\left(x=\frac{\pi }{2}\right)$ trong trường hợp này.

Vậy phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Đặt x+$\frac{\pi }{4}=\alpha$. Khi đó ta có phương trình sin$\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Xét đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là ${\alpha }_1=\frac{\pi }{4}$ và ${\alpha }_2=\frac{3\pi }{4}$.

Mà x+$\frac{\pi }{4}=\alpha$ , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x₁ = 0 và $x_2=\frac{\pi }{2}$.

Vậy phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai nghiệm trên đoạn [0; π].

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân