Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 1
Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
A. (0; π).
B. (−3π2;−π2) .
C. (−π2;π2)
D. (‒π; 0).
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số y = sinx (hình vẽ):
Quan sát đồ thị trên, ta thấy hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (−π2;π2) .
Cách 2. Dùng tính chất của hàm số y = sinx:
Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng (−π2+k2π;π2+k2π) với k ∈ ℤ.
Do đó hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (−π2;π2) .
Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 1: Hàm số nghịch biến trên khoảng (π; 2π) là:
A. y = sinx.
B. y = cosx.
C. y = tanx.
D. y = cotx.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Cách 1. Dùng đồ thị hàm số:
Xét đồ thị hàm số y = sinx:
Xét đồ thị hàm số y = cosx:
Xét đồ thị hàm số y = tanx:
Xét đồ thị hàm số y = cotx:
Quan sát các đồ thị trên, ta thấy hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).
Cách 2. Dùng tính chất của hàm số lượng giác:
Do (π; 2π) = (0 + π; π + π)
Mà hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.
Do đó hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (π; 2π).
Bài 3 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu tan(a + b) = 3, tan(a – b) = ‒3 thì tan2a bằng:
A. 0.
B. 35 .
C. 1.
D. -34.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có:
tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]
=tan(a+b)+tan(a−b)1−tan(a+b)tan(a−b)=3+(−3)1−3.(−3)=0.
Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = 14 thì cos2a bằng:
A. 78 .
B. -78.
C. 1516 .
D. -1516.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: cos2a = 2cos2a – 1 = 2.(14)2−1=2.116−1=−78.
Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu cosa = 35 và cosb = -45 thì cos(a + b)cos(a – b) bằng:
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:
cos (a+b)cos(a-b) = 12[cos(a+b+a-b) + cos(a+b-a+b)]
= 12[cos2a + cos2b]
Ta lại có:
cos2a = 2cos2a – 1 = 2.(35)2−1=2.925−1=−725;
cos2b = 2cos2b – 1 = 2.(−45)2−1=2.1625−1=725;
Do đó cos(a+b)cos(a-b) = 12[cos2a + cos2b] = 12.(−725+725)=0.
Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1: Nếu sina = −√23 thì sin(a+π4)+sin(a−π4) bằng:
A. 23 .
B. 13 .
C. -23.
D. -13.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
sin(a+π4)+sin(a−π4)
= 2sin(a+π4+a−π42)cos(a+π4−a+π42)
= 2sinacosπ4=2.(−√23).√22=−23.
Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:
A. 5.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác
cosx = 0
⇔x = π2+kπ (k ∈ ℤ)
Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0≤π2+kπ≤10π
⇔0≤π2+k≤10 ⇔ -12≤k≤192
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 9}, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.
Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = cosx cắt trục hoành tại 10 điểm A, B, C, …, K trên đoạn [0; 10π].
Vậy phương trình cosx = 0 có 10 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Bài 8 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0; 10π] là:
A. 10.
B. 6.
C. 5.
D. 11.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Cách 1. Giải phương trình lượng giác
sinx = 0
⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)
Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π
⇔ 0 ≤ k ≤ 10
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Bài 9 trang 41 Toán 11 Tập 1: Phương trình cotx = ‒1 có nghiệm là:
A. −π4+kπ(k∈ℤ) .
B. π4+kπ(k∈ℤ) .
C. π4+k2π(k∈ℤ) .
D. -π4+k2π(k∈ℤ).
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: cotx = ‒1
⇔x=−π4+kπ(k∈ℤ).
Bài 10 trang 41 Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin(x+π4)=√22 trên đoạn [0; π] là:
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác:
Ta có:
sin(x+π4)=√22
⇔sin(x+π4)=sinπ4
• Do x ∈ [0; π] nên từ (1) ta có:
0 ≤ k2π ≤ π
⇔ 0 ≤ 2k ≤ 1
⇔ 0 ≤ k ≤ 12
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.
• Do x ∈ [0; π] nên từ (2) ta có:
0 ≤ π2+k2π ≤ π
⇔ 0 ≤ 12+2k ≤ 1
⇔−12≤2k≤12⇔−14≤k≤14
Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x=π2) trong trường hợp này.
Vậy phương trình sin(x+π4)=√22 có hai nghiệm trên đoạn [0; π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Đặt x+π4=α. Khi đó ta có phương trình sinα=√22.
Xét đường thẳng y = √22 và đồ thị hàm số y = sinα trên đoạn [0; π]:
Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng y = √22 cắt đồ thị số y = sinα trên đoạn [0; π] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là α1=π4 và α2=3π4.
Mà x+π4=α , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là x1 = 0 và x2=π2.
Vậy phương trình sin(x+π4)=√22 có hai nghiệm trên đoạn [0; π].