Số nghiệm của phương trình $\sin 5x+\sqrt{3}\cos 5x=2\sin 7x$  trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$  là

Phương trình  $\iff \frac{1}{2}\sin 5x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x=\sin 7x\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 7x$ 

$\iff \sin 7x=\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)\iff \left[\begin{array}{l}7x=5x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 7x=\pi -(5x+\frac{\pi }{3})+k2\pi \end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{6}\end{array}(k\in \mathbb{Z})\right.\right.$

Xét khoảng  $\left(0;\frac{\pi }{2}\right):$ 

$\text{+) }0<\frac{\pi }{6}+k\pi <\frac{\pi }{2}\iff -\frac{1}{6}<k<\frac{1}{3}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}\text{. }$

$\text{+) }0<\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}\iff -\frac{1}{3}<k<\frac{8}{3}\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }\left[\begin{array}{l}k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{18}\\ k=1\Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}\\ k=2\Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}\end{array}\right.\text{.}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D