Số nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x − 2 = 0 trên khoảng

Đề bài: Số nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x − 2 = 0 trên khoảng (0; 20π) là bao nhiêu?

Trả lời

Hướng dẫn giải:

cos 2x + 3sin x − 2 = 0

Û 1 − 2sin² x + 3sin x − 2 = 0

Û − 2sin² x + 3sin x − 1 = 0

Û 2sin² x − 3sin x + 1 = 0

Û (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0

+) TH1: sin x = 1

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Với x Î (0; 20π)

$$\begin{gathered} \Rightarrow 0<\frac{\pi }{2}+k2\pi <20\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \\ \iff \frac{-1}{4}<k<\frac{39}{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Þ 0 £ k £ 9 (k Î ℤ)

Vậy TH1 cho 10 nghiệm x thỏa mãn

+) TH2: $\sin x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k_{1}2\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ x=-\frac{\pi }{6}+k_{2}2\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right.$

Với x Î (0; 20π)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}0<\frac{\pi }{6}+k_{1}2\pi <20\pi \left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ 0<-\frac{\pi }{6}+k_{2}2\pi <20\pi \left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{-1}{12}<k_1<\frac{119}{12}\left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ \frac{1}{12}<k_2<\frac{121}{12}\left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}0\le k_1\le 9\left(k_1\in \mathbb{Z}\right)\\ 1\le k_2\le 10\left(k_2\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy TH2 cho 20 nghiệm x thỏa mãn.

Vậy có 30 nghiệm của x thỏa mãn phương trình.