Ta có:

\({5^{100}} = {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^{100\,\,}}\)hay \({5^{100}}\,\, = \,\,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\)

Xét 2¹⁰⁰ ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ > 1000¹⁰ = 10³⁰

2¹⁰⁰ = 2³¹ . 2⁶. 2⁶³ = 2³¹ . 64. 512⁷ < 2³¹ . 64. 512⁷ = 2³¹ . 512⁷ . 4³

Xét 10³¹ = 2³¹ . 5³¹ = 2³¹ . 5²⁸ . 5³ = 2³¹ . (5⁴)⁷ . 5³ = 2³¹ . 625⁷ . 5³

Suy ra: 2¹⁰⁰ < 10³¹

Khi đó: \(\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{31}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{2^{100}}}}\, < \,\,\frac{{{{10}^{100}}}}{{{{10}^{30}}}}\) hay \({10^{69}}\, < \,\,{5^{100}} < \,\,{10^{70}}\)

Vậy số 5¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 70 chữ số.