Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm

Bài 16 trang 58 Toán 11 Tập 1: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Trả lời

Gọi u_n­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u₁ = 1 000 000 000 đồng.

u₂ = u₁ + u₁.1% - a = u₁(1 + 1%) – a (đồng)

u₃ = u₁(1 + 1%) – a + [u₁(1 + 1%) – a].1% – a = u₁(1 + 1%)² – a(1 + 1%) – a

...

u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – a(1 + 1%)^n-2 – a(1 + 1%)^n-3 – a(1 + 1%)^n-4 – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)^n-2; a(1 + 1%)^n-3; a(1 + 1%)^n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

$S_{n-2}=\frac{a\left(1-{\left(99\%\right)}^{n-2}\right)}{1-99\%}=$100a[1 – (99%)^n-2].

Suy ra u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – 100a[1 – (99%)^n-2].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u₂₄ = 0. Do đó ta có:

u₂₄ = u₁(1 + 1%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục