Giải SGK Toán 11 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 2

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 1 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁=$\frac{1}{3}$ và u_n = 3u_n-1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (u_n) là:

A. 27;

B. 9;

C. 81;

D. 243.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=3$ . Do đó dãy số (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁=$\frac{1}{3}$ và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: $u_n=\frac{1}{3}{.3}^{n-1}=3^{n-2}$ với n ∈ ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (u_n) là: $u_5=3^{5-2}$=27.

Bài 2 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21; – 3; – 27; – 51; – 75;

B. $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{15}{4}$;

C. $\sqrt{1};\sqrt{2};\sqrt{3};\sqrt{4};\sqrt{5}$;

D. $\frac{1}{20};\frac{1}{30};\frac{1}{40};\frac{1}{50};\frac{1}{60}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = 21 và công sai d = – 24.

Bài 3 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát u_n là:

A. u_n = – 5 + 4n;

B. u_n = – 1 – 4n;

C. u_n = – 5 + 4n²;

D. u_n = – 9 + 4n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u_n = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Bài 4 trang 57 Toán 11 Tập 1: Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000;

B. 10 100;

C. 20 000;

D. 20 200.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

$S_{100}=\frac{100.\left(1+1+99.2\right)}{2}$= 10 000.

Bài 5 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u_{n – 1­}(n – 1) với mọi n ≥ 2;

B. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u­₁ = 1 và u_n = 2u_n-1 + 1 với mọi n ≥ 2;

C. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = $u_{n-1}^2$ với mọi n ≥ 2;

D. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = $\frac{1}{3}$u_n-1 với mọi n ≥ 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = $\frac{1}{3}$u_n-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và q = $\frac{1}{3}$.

Bài 6 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u_n = – 1, công bội q=-$\frac{1}{10}$ . Khi đó $\frac{1}{{10}^{2017}}$ là số hạng thứ:

A. 2 016;

B. 2 017;

C. 2 018;

D. 2 019.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_n=\left(-1\right).{\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}$ .

Xét $u_n=\left(-1\right).{\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2017}}$

$\iff {\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}={\left(-\frac{1}{10}\right)}^{2017}$

⇔ n – 1 = 2017

⇔ n = 2018.

Bài 7 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. u_n = sinn;

B. u_n = n.(– 1)ⁿ;

C. $u_n=\frac{1}{n}$;

D. u_n = 2ⁿ⁺¹.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹⁺¹ = 2ⁿ⁺²

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 2ⁿ⁺² – 2ⁿ = 3.2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Bài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (u_n­) sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_n=\frac{n^2}{n+1}$ ;

b) $u_n=\frac{2}{5^n}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.n².

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n+1+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$

Xét hiệu

$=\frac{n^2+3n+1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$> 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{2}{5^{n+1}}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{5^{n+1}}-\frac{2}{5^n}=-\frac{4}{5}.\frac{2}{5^n}=-\frac{8}{5^{n+1}}$< 0

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u₂ + u₅ = 42 và u₄ + u₉ = 66;

b) u₂ + u₄ = 22 và u₁.u₅ = 21.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ + u₅ = u₁ + d + u₁ + 3d = 42

⇔ 2u₁ + 4d = 42

Ta lại có: u₄ + u₉ = u₁ + 3d + u₁ + 8d = 2u₁ + 11d = 66

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: $u_1=\frac{99}{7}$ và công sai d=$\frac{24}{7}$.

b) Ta có: u₂ + u₄ = u₁ + d + u₁ + 3d = 22

⇔ 2u₁ + 4d = 22

⇔ u₁ + 2d = 11

⇔ u₁ = 11 – 2d

Ta lại có: u₁.u₅ = u₁(u₁ + 4d) = 21.

Thay u₁ = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d² = 21

⇔ d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì u₁ = 1.

Với d = – 5 thì u₁ = 21.

Bài 10 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) u₆ = 192 và u₇ = 384;

b) u₁ + u₂ + u₃ = 7 và u₅ – u₂ = 14.

Lời giải:

a) Ta có u₆ = u₁.q⁵ = 192 và u₇ = u₁.q⁶ = 384

Xét: $\frac{u_6}{u_7}=\frac{u_1{q}^5}{u_1.q^6}=\frac{1}{q}=\frac{192}{384}=\frac{1}{2}$

Suy ra: u₁ = 192:${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ = 6144.

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 6 144 và công bội q=$\frac{1}{2}$.

b) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = u₁ + u₁.q + u₁.q² = 7

⇔ u₁(1 + q + q²) = 7

Và u₅ – u₂ = u₁.q⁴ – u₁.q = 14

⇔ u₁q(q³ – 1) = 14

Suy ra: $\frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_{1}q\left(q^3-1\right)}=\frac{7}{14}$

$\iff \frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_{1}q\left(q-1\right)\left(1+q+q^2\right)}=\frac{7}{14}$

⇔ 2 = q(q – 1)

⇔ q² – q – 2 = 0

⇔ q = 2 hoặc q = – 1.

Với q = 2 thì u₁ = 1.

Với q = – 1 thì u₁ = 7.

Bài 11 trang 58 Toán 11 Tập 1: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Lời giải:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Bài 12 trang 58 Toán 11 Tập 1: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u₁ = 1, công sai d = 1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

$S_n=\frac{n\left(1+n\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$= 4950

⇔ n² + n – 9 900 = 0

⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài 13 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m². Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Lời giải:

Diện tích mặt đáy tháp là u­₁ = 12 288 (m²).

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u₂ = 12 288. $\frac{1}{2}$ = 6 144 (m²).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 12 288 và công bội q=$\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: u_n = 12 288.${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u₁₁ = 12 288. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11-1}$ = 12 (m²).

Bài 14 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Lời giải:

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có: u₁ = 23; u₂ = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; u₃ = 23.80%.80% = 23.(80%)²; ...

Suy ra dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát u_n = 23.(80%)^{n – 1} độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u₆ = 23.(80%)⁵ ≈ 7,5°C.

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (Hình 4). Từ hình vuông C₂ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C₃. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, ..., C_n, ... Gọi a_n là độ dài cạnh hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a₁ = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: a_n.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: a_n+1 = $\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right).a_n$.

Suy ra: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Vậy (a_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = 4 và công bội q = $\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Bài 16 trang 58 Toán 11 Tập 1: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Gọi u_n­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u₁ = 1 000 000 000 đồng.

u₂ = u₁ + u₁.1% - a = u₁(1 + 1%) – a (đồng)

u₃ = u₁(1 + 1%) – a + [u₁(1 + 1%) – a].1% – a = u₁(1 + 1%)² – a(1 + 1%) – a

...

u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – a(1 + 1%)^n-2 – a(1 + 1%)^n-3 – a(1 + 1%)^n-4 – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)^n-2; a(1 + 1%)^n-3; a(1 + 1%)^n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

$S_{n-2}=\frac{a\left(1-{\left(99\%\right)}^{n-2}\right)}{1-99\%}=$100a[1 – (99%)^n-2].

Suy ra u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – 100a[1 – (99%)^n-2].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u₂₄ = 0. Do đó ta có:

u₂₄ = u₁(1 + 1%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.