Giải SGK Toán 11 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 2

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 1 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1=13 và un = 3un-1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (un) là:

A. 27;

B. 9;

C. 81;

D. 243.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: unun1=3 . Do đó dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1=13 và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: un=13.3n1=3n2 với n  ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (un) là: u5=352=27.

Bài 2 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21; – 3; – 27; – 51; – 75;

B. 12;54;2;114;154;

C. 1;2;3;4;5;

D. 120;130;140;150;160.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 21 và công sai d = – 24.

Bài 3 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = – 5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát un là:

A. un = – 5 + 4n;

B. un = – 1 – 4n;

C. un = – 5 + 4n2;

D. un = – 9 + 4n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng un = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Bài 4 trang 57 Toán 11 Tập 1: Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000;

B. 10 100;

C. 20 000;

D. 20 200.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

S100=100.1+1+99.22= 10 000.

Bài 5 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un – 1­(n – 1) với mọi n ≥ 2;

B. Dãy số (un) được xác định bởi: u­1 = 1 và un = 2un-1 + 1 với mọi n ≥ 2;

C. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un12 với mọi n ≥ 2;

D. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = 13un-1 với mọi n ≥ 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = 13un-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và q = 13.

Bài 6 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) có un = – 1, công bội q=-110 . Khi đó 1102017 là số hạng thứ:

A. 2 016;

B. 2 017;

C. 2 018;

D. 2 019.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un=1.110n1 .

Xét un=1.110n1=1102017

110n1=1102017

 n – 1 = 2017

 n = 2018.

Bài 7 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. un = sinn;

B. un = n.(– 1)n;

C. un=1n;

D. un = 2n+1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: un+1 = 2n+1+1 = 2n+2

Xét hiệu un+1 – un = 2n+2 – 2n = 3.2n > 0 với mọi n  ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Bài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (u) sau, biết số hạng tổng quát:

a) un=n2n+1 ;

b) un=25n ;

c) un = (– 1)n.n2.

Lời giải:

a) Ta có: un+1=n+12n+1+1=n+12n+2

Xét hiệuBài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

=n2+3n+1n+2n+1> 0 với mọi n  ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: un+1=25n+1

Xét hiệu un+1un=25n+125n=45.25n=85n+1< 0

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un). Tìm số hạng đầu u1, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66;

b) u2 + u4 = 22 và u1.u5 = 21.

Lời giải:

a) Ta có: u2 + u5 = u1 + d + u1 + 3d = 42

 2u1 + 4d = 42

Ta lại có: u4 + u9 = u1 + 3d + u1 + 8d = 2u1 + 11d = 66

Khi đó ta có hệ phương trình:

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: u1=997 và công sai d=247.

b) Ta có: u2 + u4 = u1 + d + u1 + 3d = 22

 2u1 + 4d = 22

 u1 + 2d = 11

 u1 = 11 – 2d

Ta lại có: u1.u5 = u1(u1 + 4d) = 21.

Thay u1 = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

 (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

 121 – 4d2 = 21

 d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì u1 = 1.

Với d = – 5 thì u1 = 21.

Bài 10 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un). Tìm số hạng đầu u1, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) u6 = 192 và u7 = 384;

b) u1 + u2 + u3 = 7 và u5 – u2 = 14.

Lời giải:

a) Ta có u6 = u1.q5 = 192 và u7 = u1.q6 = 384

Xét: u6u7=u1q5u1.q6=1q=192384=12

Suy ra: u1 = 192:125 = 6144.

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 6 144 và công bội q=12.

b) Ta có: u1 + u2 + u3 = u1 + u1.q + u1.q2 = 7

 u1(1 + q + q2) = 7

Và u5 – u2 = u1.q4 – u1.q = 14

 u1q(q3 – 1) = 14

Suy ra: u11+q+q2u1qq31=714

u11+q+q2u1qq11+q+q2=714

 2 = q(q – 1)

 q2 – q – 2 = 0

 q = 2 hoặc q = – 1.

Với q = 2 thì u1 = 1.

Với q = – 1 thì u1 = 7.

Bài 11 trang 58 Toán 11 Tập 1: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Lời giải:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

 A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

 4A + 6d = 360°

 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A  d = 2A

 8A = 180°

 A = 22,5° và d = 45°

 B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Bài 12 trang 58 Toán 11 Tập 1: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u1 = 1, công sai d = 1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

Sn=n1+n2=nn+12= 4950

 n2 + n – 9 900 = 0

 n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài 13 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m2. Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Lời giải:

Diện tích mặt đáy tháp là u­1 = 12 288 (m2).

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u2 = 12 288. 12 = 6 144 (m2).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là un với n  ℕ*.

Dãy (un) lập thành một cấp số nhân là u1 = 12 288 và công bội q=12, có số hạng tổng quát là: un = 12 288.12n1.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u11 = 12 288. 12111 = 12 (m2).

Bài 14 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Lời giải:

Gọi un là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n  ℕ*.

Ta có: u1 = 23; u2 = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; u3 = 23.80%.80% = 23.(80%)2; ...

Suy ra dãy (un) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát un = 23.(80%)n – 1 độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u6 = 23.(80%)5 ≈ 7,5°C.

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình 4). Từ hình vuông C2 lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C3. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C1, C2, C3, ..., Cn, ... Gọi an là độ dài cạnh hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là cấp số nhân.

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a1 = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: an.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: an+1 = 104.an.

Suy ra: an+1an=104

Vậy (an) là một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = 4 và công bội q = 104.

Bài 16 trang 58 Toán 11 Tập 1: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Gọi u là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u1 = 1 000 000 000 đồng.

u2 = u1 + u1.1% - a = u1(1 + 1%) – a (đồng)

u3 = u1(1 + 1%) – a + [u1(1 + 1%) – a].1% – a = u1(1 + 1%)2 – a(1 + 1%) – a

...

un = u1(1 + 1%)n-1 – a(1 + 1%)n-2 – a(1 + 1%)n-3 – a(1 + 1%)n-4 – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)n-2; a(1 + 1%)n-3; a(1 + 1%)n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

Sn2=a199%n2199%=100a[1 – (99%)n-2].

Suy ra un = u1(1 + 1%)n-1 – 100a[1 – (99%)n-2].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u24 = 0. Do đó ta có:

u24 = u1(1 + 1%)23 – 100a[1 – (99%)22] = 0

 1 000 000 000.(99%)23 – 100a[1 – (99%)22] = 0

 a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!